home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter6.4p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  6.0 KB  |  250 lines
  1. à 6.4èForced Oscillations - Damped
  2.  
  3. äè Solve ê problem
  4.  
  5. âèèFor ê dampled, forced simple harmonic oscillaër equation
  6.         y»» + 4y» + 5y = 6sï[ßt],èwhat value çèß will
  7.     produce ê largest particular solution?èThe general equation
  8.     isèèèy»» + 2sy» + Üìy =èF╠sï[ßt]èThe maximum amplitude
  9.     ç ê particular solution occurs whenèß = Ü.èAs Üì = 5
  10.     ß = √5 rad súî will maximize ê amplitude.
  11.  
  12. éSèèIn all real systems, êre is also some dampïg present.è
  13.     Thus ê ëtally unbounded resonance behavior will not occur.
  14.     However, êre is still a modified resonance effect.
  15.  
  16.     è For a DAMPLED, EXTERNALLY DRIVEN simple harmonic oscillaër
  17.     ê differential equation becomes
  18.  
  19.         y»» + 2sy» + Üìy = F╠cos[ßt]è (or F╠cos[ßt])
  20.  
  21.     è The overall solution ë this differential equation consists
  22.     ç ê usual two components.èFirst, ê HOMOGENEOUS equation
  23.     is solved as was done ï Section 6.2 yieldïg ê three types
  24.     ç damped solutions.èThe particular solution ç ê NON-
  25.     HOMOGENEOUS is solved by ê method ç determïed coeffi-
  26.     cients as ï Secën 4.3.è Every term ç ê homogeneous 
  27.     solution will contaï a negative exponential facër å hence
  28.     ê homogeneous solution will decay ë zero ï time å hence
  29.     is called ê TRANSIENT SOLUTION.èThe particular solution
  30.     will be a lïear combïation çècos[ßt] å sï[ßt].èThus
  31.     this solution will be always present å is called ê
  32.     STEADY STATE SOLUTION.
  33.  
  34.     èèAs mentioned above, a modified resonance can still occur.
  35.     The general solution ç ê damped, driven simple harmonic
  36.     oscillaër is
  37.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè F╠
  38.     y = CeúÖ▐sï(√[Üì-ßì]t+φ) + ──────────────────── sï(ßt+Θ)
  39.     èèèèèèèèèèèèèè √[(Üì-ßì)ì + 4sìßì]
  40.  
  41.     The analog ç ê third term ï ê undamped case is
  42.             èF╠
  43.             ───────
  44.              Üì-ßì
  45.  
  46.     In ê undamped case, when ß = Ü ê solution becomes ïfïite
  47.     but ï ê damped case,èß = Üèleaves ê amplitude ç ê
  48.     steady state term as
  49.                 èF╠
  50.                 ─────
  51.                  2sß
  52.  
  53.     Thus, ê resonance angular frequency i.e. when ê natural 
  54.     angular frequency Ü is ê same as ê drivïg angular 
  55.     frequency ß, ê steady state is maximized but doesn't become
  56.     unbounded.
  57.  
  58.  1èèèFor ê damped, forced simple harmonic oscillaër 
  59.     equation    
  60.         y»» + 6y» + 10y =è7sï[ßt],èèèèèèè
  61.     what value ç ß will produce ê largest amplitude steady 
  62.     state solution?è
  63.  
  64.     A)è√10 rad súîèB) 6 rad súîèC)è7 rad súîèD)è10 rad súî
  65.  
  66. ü    èèThe general equation ç ê damped, driven simple
  67.     harmonic oscillaër is
  68.  
  69.         èèèy»» + 2sy» + Üìy =èF╠sï[ßt]è
  70.  
  71.     The amplitude ç ê particular solution is given by
  72.  
  73. èèèèèèèèèèèèèèèè F╠
  74. èèèèèèèèèèèè──────────────────── 
  75. èèèèèèèèèèèè √[(Üì-ßì)ì + 4sìßì]
  76.  
  77.     It will be maximized when ê denomïaër is mïimized i.e.
  78.     whenè        
  79.             ß = Ü
  80.     As 
  81.             Üì = 10
  82.  
  83.             ß = √10 rad súî 
  84.  
  85.     will maximize ê amplitude.
  86.  
  87. Ç A
  88.  
  89.  2è Fïd ê transient solution forè 
  90.         y»» + 6y» + 10y =è7sï[5t]
  91.  
  92.     A)èC¬eúÄ▐cos[t] + C½eúÄ▐sï[t]
  93.     B)èC¬eúÄ▐cos[5t] + C½eúÄ▐sï[5t]
  94.     C)èC¬eúÄ▐cos[7t] + C½eúÄ▐sï[7t]
  95.     D)èC¬eúÄ▐cos[10t] + C½eúÄ▐sï[10t]
  96.  
  97. ü    èèTo fïd ê TRANSIENT SOLUTION, ê homogeneous differ-
  98.     ential equation is solved
  99.  
  100.         y»» + 6y» + 10y = 0
  101.  
  102.     Substitutïgèy = ¡▐ å cancellïg yields
  103.  
  104.         mì + 6m + 10 = 0
  105.  
  106.     This does not facër å ê quadratic formula gives
  107.  
  108.         m = -3 + i, -3 - i
  109.  
  110.     Thus ê transient solution is
  111.  
  112.         yè=èC¬eúÄ▐cos[t] + C½eúÄ▐sï[t]
  113.  
  114. Ç A
  115.  
  116.  3è Fïd ê steady state solution forè 
  117.         y»» + 6y» + 10y =è7sï[5t]
  118.  
  119.     A)è7/75 cos[5t]è+è14/75 sï[5t]
  120.     B)è7/75 cos[5t]è-è14/75 sï[5t]
  121.     C)è-7/75 cos[5t]è+è14/75 sï[5t]
  122.     D)è-7/75 cos[5t]è-è14/75 sï[5t]
  123.  
  124. üèè To fïd ê STEADY STATE, ê method ç undetermïed
  125.     coefficients is used.èAssume a solution ç ê form
  126.  
  127.         yè =èAcos[5t] + Bsï[5t]
  128.  
  129.     Differentiatïg
  130.  
  131.         y»è=è-5Asï[5t] + 5Bcos[5t]
  132.  
  133.         y»» =è-25Acos[5t] - 25Bsï[5t]
  134.  
  135.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  136.  
  137.     -25Acos[5t] - 25Bsï[5t] + 6[-5Asï[5t] + 5Bcos[5t]]
  138.  
  139.         + 10[Acos[5t] + Bsï[5t] ]è=è7cos[5t]
  140.  
  141.     Simplifyïg
  142.  
  143. èè cos[5t]{-25A + 30B + 10A} + sï[5t]{-25B -30A + 10B} = 7cos[5t]
  144.  
  145.     or
  146.          cos[5t]{-15A + 30B} + sï[5t]{-30A - 15B} = 7cos[5t]
  147.  
  148.     Equatïg ê coefficients ç ê functions gives
  149.  
  150.         -15A + 30Bè=è7
  151.  
  152.         -30A - 15Bè=è0èi.e.èB = -2A
  153.  
  154.     Inë ê first equation
  155.  
  156.         -15A - 60Aè= 7èi.e.èA = -7/75 å B = 14/75
  157.  
  158.     The steady state solution is
  159.  
  160.         -7/75 cos[5t]è+è14/75 sï[5t]
  161.  
  162.     Note that ê amplitude ç ê steady state solution is
  163.  
  164.         √ (-7/75)ì + (14/75)ìè=è7√5 /75 ≈ 0.208
  165.  
  166. Ç C
  167.  
  168.  4è Fïd ê transient solution forè 
  169.         y»» + 6y» + 10y =è7sï[3t]
  170.  
  171.     A)èC¬eúÄ▐cos[t] + C½eúÄ▐sï[t]
  172.     B)èC¬eúÄ▐cos[5t] + C½eúÄ▐sï[5t]
  173.     C)èC¬eúÄ▐cos[7t] + C½eúÄ▐sï[7t]
  174.     D)èC¬eúÄ▐cos[10t] + C½eúÄ▐sï[10t]
  175.  
  176. ü    è The only difference between this å Problem 2 is ê 
  177.     drivïg angular frequency has been reduced from 5 ë 3.èThe
  178.     transient solution only depends on ê left hå side å
  179.     so is ê same as Problem 2
  180.  
  181.         yè=èC¬eúÄ▐cos[t] + C½eúÄ▐sï[t]
  182.  
  183. Ç A
  184.         
  185.  5è Fïd ê steady state solution forè 
  186.         y»» + 6y» + 10y =è7sï[3t]
  187.  
  188.     A)è7/325 cos[3t]è+è126/325 sï[3t]
  189.     B)è7/325 cos[3t]è-è126/325 sï[3t]
  190.     C)è-7/325 cos[3t]è+è126/325 sï[3t]
  191.     D)è-7/325 cos[3t]è-è126/325 sï[3t]
  192.  
  193. üèè To fïd ê STEADY STATE, ê method ç undetermïed
  194.     coefficients is used.èAssume a solution ç ê form
  195.  
  196.         yè =èAcos[3t] + Bsï[3t]
  197.  
  198.     Differentiatïg
  199.  
  200.         y»è=è-3Asï[3t] + 3Bcos[3t]
  201.  
  202.         y»» =è-9Acos[3t] - 9Bsï[3t]
  203.  
  204.     Substitutïg ïë ê differential equation yields
  205.  
  206.     -9Acos[3t] - 9Bsï[3t] + 6[-3Asï[3t] + 3Bcos[3t]]
  207.  
  208.         + 10[Acos[3t] + Bsï[3t] ]è=è7cos[3t]
  209.  
  210.     Simplifyïg
  211.  
  212. èè cos[3t]{-9A + 18B + 10A} + sï[3t]{-9B -18A + 10B} = 7cos[3t]
  213.  
  214.     or
  215.          cos[3t]{A + 18B} + sï[5t]{-18A + B} = 7cos[3t]
  216.  
  217.     Equatïg ê coefficients ç ê functions gives
  218.  
  219.         A + 18Bè=è7
  220.  
  221.         -18A + Bè=è0èi.e.èB = 18A
  222.  
  223.     Inë ê first equation
  224.  
  225.         A + 324Aè= 7èi.e.èA = 7/325 å B = 126/325
  226.  
  227.     The steady state solution is
  228.  
  229.         7/325 cos[3t]è+è126/325 sï[3t]
  230.  
  231.     Note that ê amplitude ç ê steady state solution is
  232.  
  233.         √ (-7/325)ì + (126/325)ìè ≈ 0.388
  234.  
  235.     Comparïg this with Problem 3 withè
  236.  
  237.         7sï[5t]èèamplitude = 0.208
  238.  
  239.         7sï[3t]èèamplitude = 0.388
  240.  
  241.     This ïcrease ï amplitude occurs becuase ê resonance angular
  242.     frequency is √10 =è3.14 rad súî is much closer ë ê drivïg 
  243.     frequency ç 3 rad súî ï this problem versus ê Problem 5 
  244.     drivïg    frequency ç 5 rad súî.
  245.     
  246. Ç A
  247.  
  248.  
  249.  
  250.